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角谷猜想
作者:数学组 来源:数学组 日期:2013/10/16 0:00:00

 

该猜想由日本数学家角谷静夫发现,是指对於每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1,如果它是偶数,则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1,故又称为3n+1猜想。

举例说明

取一个数字

n = 6,根据上述公式,得出 63105168421。(步骤中最大的数是16,共有7个步骤)

n = 11,根据上述公式,得出 1134175226134020105168421。(步骤中最大的数是52,共有13个步骤)

n = 27,根据上述公式,得出 : 278241124623194471427121410732216148424212136418291274137412206103310155466233

70035017552626379039511865931780890445133666833416750225175437711325662838504251276

63831995847914387192158107932381619485824297288364418229112734136741022051615430779232

461623081154577173286643313006503259764882441226118492462370351065316080402010

5168421。(步骤中最大的数是9232,共有111个步骤)

考拉兹猜想称,任何正整数,经过上述计算步骤後,最终都会得到 1

注意:与角谷猜想相反的是蝴蝶效应,初始值极小误差,会造成巨大的不同;而3x+1恰恰相反,无论多么大的误差,都是会自行的恢复。

逆行思考

(一)角谷猜想是说,任何一个自然数,如果是偶数,就除以2,如果是奇数,就乘以3再加1。最后,经过若干次迭代得到1。也就是说,不管怎样迭代,最后都会转移到2^n;不断除以2以后,最后是1。迭代过程只要出现2的幂,问题就解决了。也就是说,第一个层次是2^n

(二)第二个层次是:所有奇数m 3再加上1以后回到的有:

m1=2^n-1/3

也就是只要进入m1,只要一步就可以回到2^n。例如:

n=4时,m1=53×5+1=16。或者:1+2^2=5

n=6时;m1=2121×3+1=64。或者:5+2^4=21

n=8时;m1=8585×3+1=256。或者:21+2^6=85

n=10时;m1=341341×3+1=1024。或者:85+2^8=341

n=12时;m1=13651365×3+1=4096。或者341+2^10=1365

n=12时;m54615461×3+1=16384。即mx+1=mx+2^n

……;直到无穷,因为已经知道定理:n是偶数时,3|2^n-1);mx+1=mx+2^n

任何奇数进入了以后m1=2^n-1/3(有无穷多个m1=2^n-1/3)问题就解决了,只要一步,就可以回到2^n。我们可以轻而易举地找到任意大的m1

(三),第三个层次是:从一得知,有无穷多个自然数的奇数m1=2^n-1/3任何一个奇数,只有进入52185341;….。问题就解决了。

我们仅以第一个5来说,能够回到5的奇数有(5×2^n-1/3的有:

例如:

5×2^1-1/3=33×3+1=1010÷2=5

5×2^3-1/3=1313×3+1=4040÷8=5

5×2^5-1/3=53;53×3+1=160,160÷32=5

5×2^7-1/3=213;213×3+1=640,640÷128=5

n=奇数时都有解,有无穷多个m1=2^n-1/3..2^n|3m1+1)。也就是说,只要进入m1=2^n-1/3题就彻底解决了。我们可以轻而易举找到任意大的m1=2^n-1/3

(三),从而得知,能够回到5的奇数有有无穷多个,我们仅以13来说,能够回到13的:有1769173277;…;mx+1=mx+2^n×13

例如17=m217×3+1=5252÷4=13

17+2^2×13=6969×3+1=208208÷16=13

69+2^4×13=277277×3+1=832 832÷64=13

277+2^6×13=11091109×3+1=33283328÷256=13

1109+2^8×13=4437.4437×3+1=1331213312÷1024=13

……..

有无穷多个mx+1=mx+2^n×13。它们可以回到13。只要回到问题就解决了。

我们可以轻而易举找到任意大的mx+1=mx+2^n×13

参见下面的归纳图:(每一纵列都有无穷多个数值,横向可以无穷扩展而不重复)。例如:右上角第一个数33

33×3+1=100,100÷4=25

25×3+1=76,76÷4=19

19×3+1=58,58÷2=29

29×3+1=88,88÷8=11

11×3+1=34,34÷2=17

17×3+1=52,52÷4=13

13×3+1=40,40÷8=5

5×3+1=16,16÷16=1。图中每一个数都可以回到终点2^n

例如:177177×3+1=532,532÷4=133,13325192911171352^n .

709×3+1=2128,2128÷16=13325192911171352^n

有无穷多个数值回到任何一列,有无穷多个数值回到任何一行。

显然,这样的程序可以无限制进行下去。

于任何一个自然数A,

1a.如果A为偶数,就除以2

b.如果A为奇数,就乘以3加上1,得数记为B

2)将B代入A重新进行(1)的运算。若干步后,得数为1.

这个猜想就叫做角谷猜想,在2006年这个问题被证明是recursively undecidable(递归不可判定)的了。

角谷猜想又叫叙古拉猜想

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(责任编辑:数学组 )