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卡塔兰猜想
作者:数学组 来源:数学组 日期:2013/10/16 0:00:00

卡塔兰猜想是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰(Eugène Charles Catalan)1844年提出的一个数论的猜想。它是说除了8=2^39=3^2,没有两个连续整数都是正整数的幂;以数学方式表述为:不定方程x^a-y^b=1的大于1的正整数x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3

也可以叫“8--9”猜想。

20024月,帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库(Preda Mih?ilescu)证明了这猜想,所以它现在是定理了。这个证明由尤里·比卢(Yuri Bilu)检查,大幅使用了分圆域和伽罗华模。

与卡塔兰猜想相似的有费马大定理。

历史

在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

1320年左右,莱维·本·热尔松(Levi ben Gerson1288年—1344年)证明23的幂之间只有89相差是1

莱昂哈德·欧拉证明,x2 - y3 = 1只有一解:x = 3,y = 2

勒贝格证明了方程xa - y2 = 1a > 1 没有正整数解。

1965年柯召证明方程x2 - yb = 1b > 1 只有一个解。

於是卡塔兰猜想只馀下a,b为奇素数的情况。

1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解。雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特(Maurice Mignotte)也对这猜想作出贡献。

皮莱(Pillai)猜想:把卡塔兰猜想一般化,推测正整数的幂之间的差趋向无限大;换句话说,对任何正整数,仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想现在仍未解决。

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(责任编辑:数学组 )