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中国古代数学瑰宝
作者: 来源: 日期:2013/12/6 0:00:00

 

刘丽晨

一.1.教学目标:

1)了解中国古代数学家刘徽及其刘徽割圆术中的极限思想。

2)了解中国古代数学家祖冲之的成长以及祖冲之和祖暅在数学上的杰出成就。

3)通过对两位数学家的事迹的学习,培养学生们刻苦求真,锲而不舍的科学探索精神。

2.教学重点难点:割圆术中的极限思想,圆周率的计算,祖暅体积的推导。

3.教学方法:课件,多媒体展示,学生小组讨论。

二.教学过程:

引课:在我国古代数学发展的历史长河中涌现了很多伟大的数学家,为推动数学的发展做出了彪炳千古的贡献。其中刘徽,祖冲之是他们的杰出代表,他们的对科学的追求,锲而不舍,百折不挠的科学态度和精神是我们前进和奋斗的榜样。

1.刘徽与割圆术:

刘徽生于公元250年左右,三国后期魏国人,是中国古代杰出的数学家,也是中国古典数学理论的奠基者之一.其生卒年月、生平事迹,史书上很少记载。据有限史料推测,他是魏晋时代山东邹平人。终生未做官。他在世界数学史上,也占有杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产。

1)《九章算术》约成书于东汉之初,是用经文在足简上写成,共有246个问题的解法.在许多方面:如解联立方程,分数四则运算,正负数运算,几何图形的体积面积计算等,都属于世界先进之列,但因解法比较原始,缺乏必要的证明,而刘徽则对此均作了补充证明.在这些证明中,显示了他在多方面的创造性的贡献.他是世界上最早提出十进小数概念的人,并用十进小数来表示无理数立方根.在代数方面,他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则;改进了线性方程组的解法.在几何方面,提出了"割圆术",即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积圆周长的方法.刘徽在割圆术计算到192边形,科学地求出了圆周率π=3.1416的结果.刘徽在割圆术中提出的"割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣",采用对面积无穷小分割,然后求极限状态的和的方式解决了园面积。这是朴素的积分思想的萌芽,这可视为中国古代极限观念的佳作.古希腊穷揭法与中国古代的割圆术极相似,刘徽割圆术比古希腊晚几百年,但他的成就超过了同时代的数学家。刘徽更正了《九章算术》中球体积的错误求法,提出“牟合方盖”立体图形法,为后人解决球体积问题指明了方向。

2)《海岛算经》一书中,刘徽精心选编了九个测量问题,这些题目的创造性、复杂性和富有代表性,都在当时为西方所瞩目.刘徽思想敏捷,方法灵活,既提倡推理又主张直观.他是我国最早明确主张用辑推理的方式来论证数学命题的人。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生.他虽然地位低下,但人格高尚.他不是沽名钓誉庸人,而是学而不厌的伟人,他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

2.祖冲之以及祖暅在数学上的杰出成就:

祖冲之,字文远,南朝范阳,即今河北保定人。生于南朝宋文帝元嘉六年,即公元429年,南朝齐东昏侯永元二年,即公元500年逝世。南北朝数学家、天文学家、文学家、地质学家、地理学家、科学家。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。祖冲之生于建康(今江苏南京)一个官宦人家,虽原籍北方,但几代祖先都在江南做官且通晓历法。祖父掌管土木工程建筑,父亲也学识渊博。他从小有机会接受家传科学知识,青年时代进入专门研究学术的华林学省学习研究。祖冲之曾作过州从事史,公府参军,县令,最高官至长水校尉,享受四品俸禄,公元500年去世。祖冲之是中国古代一位伟大的数学家和天文学家,生平著作很多,内容也是多方面的。在历代国内外的各种图书目录中,可以见到他所写的数学著作的书名有缀术”6卷,九章算术义注”9卷,重差注”1卷。在天文历法方面,他编制成大明历,并为大明历写了驳议。在古代典籍的注释方面,祖冲之有易义老子义庄子易释论语释孝经等著作,但亦均失传。文学作品方面他著有述异记”10卷,在太平御览等书中可以看到这部著作的片断。从青年时起,祖冲之便对天文学和数学发生了兴趣。他把从上古时起直至他生活时代的各种文献、记录、资料,几乎全部搜罗来进行研究,并且亲自进行精密的测量和仔细的推算。正像他自己所说的那样,亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫厘,心穷筹策。他对刘歆、张衡、郑玄、阚译、王番、刘徽等科学家的工作进行了仔细研究,一一驳正了他们的错误,导出了许多极有价值的结果。 祖冲之在数学上的杰出成就,是关于圆周率的计算.秦汉以前,人们以"径一周三"做为圆周率,这就是"古率".后来发现古率误差太大,圆周率应是"圆径一而周三有余",不过究竟余多少,意见不一.直到三国时期刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术",用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长刘徽计算到圆内接96边形,求得π=3.14,并指出,内接正多边形的边数越多,所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上,经过刻苦钻研,反复演算,求出π3.14159263.1415927之间.并得出了π分数形式的近似值,取22/7为约率,取355/113为密率,其中355/113取六位小数是3.141592,它是分子分母在16604以内最接近π值的分数.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果,现在无从考查.若设想他按刘徽"割圆术"方法去求的话,就要计算到圆内接16384边形,不过根据当时的情况判断,祖冲之用的仍是刘徽的割园术。果真如此的话,祖冲之需要计算出园内接正12288边形和正24576边形的面积,要进行加、减、乘、除、开方等运算达130次以上,每次运算都要精确到9位数字,可以想象,在当时用罗列算筹来计算,是需要何等的精心与超人的毅力。这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的.准确到7位有效数学的园周率数值便是人所共知的例子。园周率π的计算,标志着一个国家和民族的数学水平。在欧洲,1100多年后才算得355/113这一数值,被称为安东尼兹率。日本数学家三上义夫在1912年提出应称π=355/113祖率。关于祖冲之是如何算得如此精密的结果,没有任何史料流传下来,这是非常遗憾的。外国数学家获得同样结果,已是一千多年以后的事了.为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"

祖冲之是博览当时的名家经典,坚持实事求是,他从亲自测量计算的大量资料中对比分析,发现过去历法的严重误差,并勇于改进,在他三十三岁时编制成功了《大明历》,开辟了历法史的新纪元

祖冲之还与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起,用巧妙的方法解决了球体体积的计算.他们当时采用的一条原理是:"幂势既同,则积不容异."意即,位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等.祖氏父子根据刘徽在九章算术注中担出的正确方法,求得了球体体积公式球体积=4/3πγ3这一原理,在西文被称为卡瓦列利原理,但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的.为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献,大家也称这原理为"祖暅原理"在西方这一原理被称为卡瓦列里原理,但它的发现者意大利数学家卡瓦列里(BCavalieri15981647)比祖氏父子要晚1100多年。

祖家历代对于天文历法都很有研究,因此祖冲之从小就有接触科学技术的机会。祖冲之对于自然科学和文学、哲学都有广泛的兴趣,特别是对天文、数学和机械制造,更有强烈的爱好和深入的钻研。后来他担任过地方官职。祖冲之在这一段期间,虽然生活很不安定,但是仍然继续坚持学术研究,并且取得了很大的成就。他研究学术的态度非常严谨。他十分重视古人研究的成果,但又决不迷信古人。他又敢于大胆怀疑前人在科学研究方面的结论,并通过实际观察和研究,加以修正补充,从而取得许多极有价值的科学成果。他推算出准确到六位小数的圆周率,取得了当时世界上最优秀的成绩。在机械学方面,他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时等等。此外,对音乐也研究。他是历史上少有的博学多才的人物。正是他的勤奋好学,刻苦实践,敢于挑战的精神,使他成为我国古代最杰出的科学家。

三.小结,体会。作业---查阅中国古代其他数学家的故事。

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